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By Theodor Bröcker
Broecker T. research 1 (2ed., Spektrum, 1995)(de)(ISBN 3860254189)(1s)_MCet_
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Fundamentals of Forensic Science, Third Edition
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Ist an = 0 f¨ ur alle n, so ist 1/(an ) := (1/an ). Die erste Operation macht die Menge aller Folgen zu einem reellen Vektorraum; die Multiplikation ist assoziativ, kommutativ und distributiv: (an ) (bn ) + (cn ) = (an )(bn ) + (an )(cn ). Die konstante Folge (1) ist ein neutrales Element der Multiplikation. 4) Satz. Es konvergiere (an ) → a und (bn ) → b , dann gilt: (i) lim ist linear, das heißt: λ(an ) + µ(bn ) → λa + µb. (ii) lim ist multiplikativ, das heißt: (an ) · (bn ) → a · b. (iii) Ist b = 0, so ist bn = 0 f¨ ur fast alle n , also etwa f¨ ur alle n > N .
Eine Folge (an ) heißt: monoton wachsend monoton fallend wenn f¨ ur streng monoton wachsend alle n gilt: streng monoton fallend a ≤ an+1 , n an ≥ an+1 , an < an+1 , an > an+1 . F¨ ur die zugeordnete Reihe bedeutet das, daß ihre Glieder jeweils ≥ 0, ≤ 0, > 0 , < 0 sind. Reihen mit nicht negativen Gliedern nennen wir oft kurz positiv. Der Sprachgebrauch ist hier wie bei den nat¨ urlichen Zahlen etwas schwankend, und Konsequenz f¨ uhrt leicht zur Unbequemlichkeit. Die Nullen m¨ogen gern unsere Aufmerksamkeit u ¨ber Geb¨ uhr beanspruchen.
7) Quotientenkriterium. Sei cn ≥ 0 , und es existiere eine Zahl ∞ ϑ < 1 , sodaß cn+1 ≤ ϑcn f¨ ur fast alle n. Dann konvergiert n=0 cn . Beweis: Weil es auf endlich viele Glieder nicht ankommt, sei oBdA cn+1 ≤ ϑcn f¨ ur alle n , dann folgt induktiv cn ≤ ϑn c0 , also hat cn n die Majorante c0 ϑ , die wegen ϑ < 1 konvergiert. Anwendung. Die Exponentialreihe ∞ ex := xn n! n=0 konvergiert f¨ ur alle x ≥ 0 . 14). Beweis: Das Quotientenkriterium ist schl¨ ussig: cn+1 /cn = 1 → 0 f¨ ur n → ∞ , also cn+1 < 2 cn f¨ ur fast alle n .