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By Josef Trölß

Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und werden in immer weiteren Bereichen angewendet. Mathcad stellt dazu eine Vielfalt an Werkzeugen zur Verf?gung und verbindet mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt. So lassen sich Berechnungen und ihre Resultate besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren. Dieses Lehr- und Arbeitsbuch, aus dem vierb?ndigen Werk "Angewandte Mathematik mit Mathcad", richtet sich vor allem an Sch?lerinnen und Sch?ler h?herer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler sowie Anwenderinnen und Anwender – speziell im technischen Bereich –, die sich ?ber eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme im Bereich der Potenzreihen, Taylorreihen, Laurentreihen, Fourierreihen, Fourier-Transformation, Laplace-Transformation, z-Transformation, Differentialgleichungen, Differenzengleichungen informieren wollen und dabei die Vorz?ge von Mathcad m?glichst effektiv n?tzen m?chten.

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Bemerkung: Für n ² bricht die Reihe von selbst ab, weil §n · ¨ = 0 für k > n gilt. Das ist der binomische Lehrsatz. 24: Vergleich von Realteil und Imaginärteil der Reihenentwicklung der komplexen Exponentialfunktionen mit der Basis e: reihe  x  6 1 2 1 1 1 3 4 5 o 1 i˜x ˜x  ˜i˜x  ˜x  ˜i˜x komplex 2 6 24 120 j ˜x e cos ( x)  j ˜ sin ( x) reihe  x  6 o 1  i ˜ x  1 2 2 ˜x  1 6 3 ˜i˜x  1 24 4 ˜x  1 120 5 ˜i˜x reihe  x  6 1 2 1 1 1 3 4 5 o 1  i ˜ x  ˜ x  ˜ i ˜ x  ˜x  ˜i˜x komplex 2 6 24 120  j ˜x e cos ( x)  j ˜ sin ( x) reihe  x  6 o 1  i ˜ x  1 2 2 ˜x  1 6 3 ˜i˜x  1 24 4 ˜x  1 120 5 ˜i˜x Die Reihenentwicklung für ex bzw.

Der größte Seildurchhang beträgt f = 10 m. Die Größe c kann näherungsweise bestimmt werden, wenn f(x) durch eine quadratische Funktion ersetzt wird. Wie groß ist der maximale Fehler, der bei dieser Näherung gemacht wird ? Es gilt: § L· ©c¹ c  f = c ˜ cosh ¨ Diese Gleichung ist transzendent und kann nur näherungsweise gelöst werden. Wir versuchen eine allgemeine Näherungslösung für die Gleichung über die Reihenentwicklung des rechten Terms zu erhalten. Abb. Glied. 034 m Seilkurve 550 c y-Achse f1( x) m m 500 p ( x  L  f) m 450 100 80 60 40 20 400 0 20 40 60 80 100 x m x-Achse Kettenlinie Parabel Abb.

B. durch fortlaufende Division als Reihe geschrieben werden: f ( x) = 1 1  x  x0 2  x  x0 3  .... = 1  x  x0  x  x0 (2-8) Die Reihe hat dann folgende Form: 2  a3 ˜ x  x0 3  .... f ( x) = a0  a1 ˜ x  x0  a2 ˜ x  x0 (2-9) Zur Ermittlung der Koeffizienten a i bilden wir vorerst unter der Annahme, dass die Funktion in einer Umgebung von x 0 differenzierbar ist, deren Ableitungen. Zur Vereinfachung verwenden wir zur Herleitung eine abgebrochene Reihe: 4 f ( x) = ¦ n f1 ( x) = ª an ˜ x  x nº o f ( x) = a0  a1 ˜ x  x  a2 ˜ x  x 2  a3 ˜ x  x 3  a4 ˜ x  x 4 0 ¼ 0 0 0 0 ¬ 0 4 d dx ¦ n f1 ( x) = 0 4 d ª an ˜ x  x nº o f ( x) = a1  2 ˜ a2 ˜ x  x  3 ˜ a3 ˜ x  x 2  4 ˜ a4 ˜ x  x 3 0 ¼ 0 0 0 1 ¬ dx ¦ n ª an ˜ x  x nº 0 ¼ ¬ ergibt 0 f1 ( x) = a1  2 ˜ a2 ˜ x  x0  3 ˜ a3 ˜ x  x0 2  4 ˜ a4 ˜ x  x0 3 4 = ¦ n f2 ( x) = 4 d dx ¦ n f2 ( x) = dx ¦ n ª n ˜ an ˜ x  x n1º o f ( x) = 2 ˜ a2  6 ˜ a3 ˜ x  x  12 ˜ a4 ˜ x  x 2 0 0 0 2 ¬ ¼ ª n ˜ an ˜ x  x n1º 0 ¬ ¼ ergibt 1 f2 ( x) = 2 ˜ a2  6 ˜ a3 ˜ x  x0  12 ˜ a4 ˜ x  x0 2 4 = ¦ n f3 ( x) = 4 d dx ¦ n 1 1 4 d ª n ˜ an ˜ x  x n1º 0 ¬ ¼ ª n ˜ ( n  1) ˜ an ˜ x  x n2º 0 ¬ ¼ 2 ª n ˜ ( n  1) ˜ an ˜ x  x n2º o f ( x) = 6 ˜ a3  24 ˜ a4 ˜ x  x 0 0 3 ¬ ¼ 2 Seite 23 Taylorreihen f3 ( x) = 4 d ª n ˜ ( n  1) ˜ an ˜ x  x n2º 0 ¬ ¼ dx ¦ n ergibt 2 4 ¦ f3 ( x) = 6 ˜ a3  24 ˜ a4 ˜ x  x0 = n ª n ˜ ( n  1) ˜ ( n  2) ˜ an ˜ x  x n3º 0 ¬ ¼ 3 usw.

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